معادلات دیفرانسیل

مرتبة معادلة دیفرانسیل

مثال) مرتبة معادلات دیفرانسیل زیر را مشخص کنید

حل معادلات دیفرانسیل مرتبة اول

1- معادلات تفکیک پذیر

مثال) معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید

معادلات همگن

مثال) درجة همگنی تابع زیر را بدست آورید

معادلات دیفرانسیل کامل

روش حل معادلات دیفرانسیل کامل

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را پس از اثبات کامل بودن آن حل کنید

فاکتورهای انتگرال گیری (فاکتور انتگرال)

مثال) کامل بودن معادلة دیفرانسیل زیر را بررسی کنید

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را با فاکتور انتگرال داده شده حل کنید

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

حالت (1) حل معادلة دیفرانسیل خطی مرتبة اول در حالت همگن (یعنی Q(x)=0)

حالت (2) جواب معادلة دیفرانسیل خطی مرتبه اول ناهمگن به صورت زیر است

مثال) معادلة دیفرانسیل خطی مرتبه اول زیر را حل کنید

حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول ناهمگن به کمک روش تغییر پارامتر

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را به کمک روش تغییر پارامتر حل کنید

تمرین 1معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید

تمرین 2معادلات دیفرانسیل زیر را به کمک فاکتور انتگرال های داده شده حل کنید

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم (حالت خطی)معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم را خطی می گوئیم هر گاه به صورت زیر باشد

قضیه

قضیه 2

تعیین جواب معادلة دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن

مثال) جواب عمومی معادلة دیفرانسیل زیر را حل کنید

تعیین جواب خصوصی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم غیر همگن

قانون کلی اول

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را حل کنید

قانون کلی دوم

مثال) معادلة دیفرانسیل ناهمگن زیر را حل کنید

تبدیل لاپلاس

روش تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل

تعریف تبدیل لاپلاس

قضیه (1)تبدیل لاپلاس دارای خاصیت خطی است

قضیه (2) معکوس تبدیل لاپلاس نیز دارای خاصیت خطی است

مثال) تبدیل لاپلاس توابع زیر را محاسبه نمایئد

نتیجة (1)

نتیجه (2)

نتیجة (3)

نتیجة (4)لاپلاس توابع sinat و cosat به ترتیب به صورت زیر است

مثال) لاپلاس توابع را به دست آورید هیپرولیک

نتیجة (5)

جدول تبدیل لاپلاس

مثال) تبدیل لاپلاس تابع زیر را پیدا کنید

مثال) عکس تبدیل لاپلاس تابع زیر را تعیین کنید

مثال) تبدیل معکوس لاپلاس تابع زیر را پیدا کنید

مثال) تبدیل معکوس لاپلاس تابع زیر را تعیین کنید

مثال) معکوس تبدیل لاپلاس عبارت فوق را به دست آورید

مثال) تبدیل لاپلاس تابع f(t)=sin(t) را به کمک روابط تبدیل لاپلاس تابع با مشتقات بالاتر آن حساب کنید

ضریب تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل

روال حل معادلات دیفرانسیل به کمک تبدیل لاپلاس

حل مثال)

قضیهاگر f(t) تابعی پیوسته باشد و باشد، آنگاه

مثال) عکس تبدیل لاپلاس تابع زیر را به دست آورید

مثال) معکوس تبدیل لاپلاس تابع زیر را پیدا کنید

تمرینمعادلات دیفرانسیل زیر را به کمک تبدیل لاپلاس حل کنید

قضیهاگر لاپلاس  باشد آنگاه 

مثال) تبدیل لاپلاس توابع زیر را به دست آورید

مثال) عکس تبدیل لاپلاس عبارت زیر را محاسبه نمائید

قضیهاگر تابع f(t) روی  تابعی پیوسته باشد و L باشد آنگاه

مثال) تبدیل لاپلاس توابع زیر را به دست آورید

مثال) لاپلاس را حل کنید

مثال) تبدیل لاپلاس توبع زیر را پیدا کنید

قضیة کانولوشن

نکته

مثال) عکس تبدیل لاپلاس توابع زیر را به دست آورید

روش دومحل مسأله به روش انتگرال کانولوشن

طریقة محاسبه کردن عکس لاپلاس به کمک قضیة کانولوشن

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را به کمک تبدیل لاپلاس حل کنید

سری های فوریه

مثال) انتگرال زیر را محاسبه نمائید

سری فوریه برای توابع زوج وفرد

برای توابع فرد

تمرینات تحویلی سری چهارم

معادلات زیر را به کمک تبدیل لاپلاس حل کنید

بسط نیم سری های فوریه

محاسبة انتگرال

مثال) سری فوریه تابع زیر را به دست آورید

تمرینات سری پنجم

حل معادلات دیفرانسیل جزئی یا پرده ای

مثال معاملات بیضوی

مثال معاملات سهموی

مثال معادلات هذلولی

حل معادلات دیفرانسیل پاره ای به روش جداسازی

مثال معادله دیفرانسیل پاره ای با شرط اولیه داده شده را از روش جداسازی متغیرهاحل کنید

نکته ثابت جداسازی از اعمال شرایط اولیها مرزی به جواب معادلۀ دیفرانسیل به دست می آید

حل معادله هدایت حرارتی

فرم کلی معادلۀ هدایت حرارت

معادله دیفرانسیل ذیل یا با شرایط اولیه داده شده را تبدیل لاپلایس حل کنید

سری فوریۀ تابع زیر را محاسبه نمائید

معادلۀ دیفرانسیل مرتبۀ دوم زیر را حل کنید