تحقيق پيرامون موضوع تراكم نخستين بار در سال 1980 توسط فير [2]DEA براي ارزيابي تراكم ارائه كرد كه تنها روش كاربردي جهت ارزيابي تراكم در مسايل بود. و سون سون [3] آغاز شد در حاليكه قبل از آنكه در علم اقتصاد موضوع تراكم ناشناخته و مبهم بود. پس از آن در سال 1983 اين موضوع توسط فيروگروسكوف[4] شكل تكميل شده اي يافت و در نهايت در سال 1985 فير مدلي در

اين امر باعث تحقيقات در اين زمينه گشت تا زماني كه روش ديگري در تراكم توسط كوپر در سال 1996 ارائه گرديد. تحقيقات كوپر توسط براكت[5]BCSW [6] نام گرفت. گسترش يافت و در نهايت روش ‌

كوپر و سيفورد و زو [7]DEA مي گردند، تنها با حل ك مدل مقدار تراكم را محاسبه مي كند. در سال 2000 با تغييراتي كه در مدل جمعي انجام دادند توانستند ضمن ارائه تعريف جديدي براي مقدار تراكم، مدل تازه اي براي ارزيابي تراكم ارائه كنند. آخرين روشي كه در ارزيابي تراكم ارائه گرديده است، توسط كوپر در سال 2002 مطرح شد كه اين روش بر خلاف روش هاي قبل كه براي ارزيابي تراكم منجر به حل دو مدل از مدل هاي

در بعضي از DMU ها برخي از ورودي ها در مقياس هايي به كار مي روند كه باعث كاهش مقدار خروجي مي شوند. در چنينمواقعي گفته مي شود كه در اين          ورودي ها تراكم وجود دارد.

افزايش تعداد معدن چي ها در يك معدن موجب تصادم آن ها با يكديگر مي شود، مثالي است كه كاهش تعداد معدن چي ها موجب افزايش مقدار استخراج مي شود. براي تعميم به حالت هاي چند ورودي و چند خروجي تعريف زير را بيان مي كنيم.

 

تعريف (2-1) تراكم

تراكم در DMU_Pوجود دارد اگر كاهش در يك يا چند ورودي همراه با افزايش در يك يا چند خروجي باشد، بدون اين كه ورودي و خروجي هاي ديگر بدتر شوند يا بالعكس ، اگر افزايش در يك يا چند ورودي همراه با كاهش در يك يا چند خروجي باشد بدون اينكه ورودي و خروجي هاي ديگر بهتر شوند.

اين روش كه توسط براكت و كوپر و شين و ونگ[8]DEA طي دو مرحله ارزيابي مي كند و نيز منبع و مقدار تراكم را نيز بدست         مي آورد. ارائه شده است را با حل دو مدل در

در اين روش تفاوت بين تراكم و ناكارايي تكنيكي به وضوح مشخص خواهد شد. براي ارزيابي در DMU_P(DMUتحت ارزيابي) ابتدا يكي از دو مدل (1-17) و يا (1-19) به ترتيب با ماهيت ورودي و يا ماهيت خروجي حل مي شوند.

فرض كنيد و به ترتيب جواب هاي بهينه مسايل (1-17) و (1-19) باشند تعريف مي كنيم:

(2-8) ماهيت ورودي

(2-9) ماهيت خروجي

بكار بردن فازاول روش BCSW در ماهيت ورودي اغلب نتيجه بخش نمي باشد ، زيرا در اين حالت حركت بر روي سطح با خروجي ثابت  باعث مي شود متغيرهاي كمكي ورودي ، ماكزيمم مقدار خود را بگيرند و از افزايش خروجي چشم پوشي شود. لذا مقدار خروجي مرجعي كه در مرحله اوب ارزيابي DMU_Pبدست آمده هم مرتبه مقدار خروجي DMU_Pمي باشد و متغيرهاي كمكي خروجي صفر هستند. كه اين موضوع نشان دهنده ناكارايي تكنيكي محض بوده و مرجع نقطه اي است كه بر روي مرز كارايي قرار دارد.

پس از حل مدل هاي (1-17) و (1-19) به حل مدل زير در ماهيت ورودي و در ماهيت خروجي مي پردازيم:

در ماهيت ورودي ،  مقادير به دست آمده از رابطه (2-8) و  مقادير متغيرهاي كمكي ورودي در جواب بهينه مدل (1-17) مي باشند.

همچنين در ماهيت خروجي، پس از حل (1-19) و بدست آوردن جواب هاي بهينه، مدل (2-10) را حل مي كنيم كه در آن  مقادير به دست‌آمده از رابطة (2-9)  مقادير متغيرهاي كمكي ورودي در جواب بهينه (1-19) مي باشند.

اين روش پس از دو مرحله ، ابتدا با حل مدل (1-17) ويا (1-19) و سپس حل مدل (2-10) مقدار تراكم در هر ورودي را با تفاضل  و  به صورت زير اندازه گيري مي كند:

(2-11)                                                                       

اگر مقدار محاسبه شده در رابطه فوق مثبت باشد  آنگاه تراكم در ورودي i اموجود دارد و مقدار آن مي باشد . اگر  باشد، بنابراين تراكم در ورودي i ام وجود ندارد.

كليه روش هاي استاندارد در DEA براي اندازه گيري تراكم منجر به حل دو مدل DEA مي شوند كه مسلماً فرايند محاسباتي سنگيني را به دنبال خواهند داشت، لذا در اين قسمت روشي رامعرفي مي كنيم كه مقدار تراكم و منابع آن تنها از حل يك مدل به دست خواهند آمد. براي اين كار دو مرحله انجام شده در روش BCSW راتركيب كرده و مدل جديدي به صورت زير ارائه مي نمائيم :

     

    

(2-19)                                

كه در آن  جواب بهينه از مدل (1-17) بوده و  (جواب بهينه مدل (2-19)) مقدار تراكم تعريف شده در رابطه (2-11) مي باشد. همان طور كه مشخص است دراين روش هم كه ظاهراً در يك مدل خلاصه شده است،‌ابتدا بايد مدل (1-17) حل شودو با نتايج به دست آمده به حل (2-19) بپردازيم كه باز هم منجر به حل دو مدل مي گردد، لذا مي توان مدل فوق را به مدل زير تبديل كرد:

   

    

(2-20)                                               

همان طور كه ملاحظه مي كنيد قيود مدل فوق همان قيود مدل ( 1-17) مي باشند اما در تابع هدف (1-17)  به  تغيير يافته است.

قضيه زير نشان مي دهد كه مقدار تراكم در ورودي i ام را مشخص مي نمايد:

تراكم در ورودي هاي DMU تحت ارزيابي وجود دارد اگر و فقط اگر در جواب بهينه مدل (2-20) () لااقل يكي از شرايط زير برقرار باشد:

الف)  و لااقل i ي ،  وجود داشته باشد به قسمي كه  باشد.

ب ) لااقل rي ،  وجود داشته باشد كه  و لااقل i ي ،  وجود داشته باشد كه .

از قضيه فوق پيداست اگر در DMU_p تراكم وجود داشته باشد، آنگاه ناكارا است اما عكس اين مطلب صحبت ندارد.

 

انديس بهره وري Malmquist غير شعاعي

1-4- مقدمه :

تحليل پوششي داده ها يك روش بسيار عالي را براي اجراي تحليل و ساختار مدل سازي و فرآيندهاي مؤثر، مخصوصاً زماني كه قيمتهاي بازار در دست نباشد، ارائه كرده است . برعكس روش رگرسيون آمار كه پارامترهاي تابع فرضي را با يك بهينه سازي روي تمام داده ها برآورد مي كند، DEA بهينه سازي هاي متفاوتي (مسائل برنامه ريزي خطي) براي DMU هاي متفاوت بدون توجه به شكل تابع، استفاده مي كند. با توجه به اين مشخصه منحصر بفرد، DEA در سطوح مختلف ارزيابي كارايي، قابل اجرا بوده. براي مثال ارزيابي برنامه ، عملكرد اقتصاد كلان روي پيشگيري از آلودگي شهرها وكشورها ، سازماندهي درختكاري نواحي ، حمل و نقل دانش آموزان وغيره . با نتايج جديد (فارا 194) DEA در جهت داده هاي قابي و اندازه گيري تغييرات بهره وري در دو دوره زماني به كار مي رود.

در تعيين انديس بهره وري Malmquist وقتي درجه كارايي شعاعي DEA بكار رود، انديس بهره وري Malmquist (شعاعي) ناميده مي شود.

مدلهاي DEA كه در انديس بهره وري Malmquist شعاعي مورد استفاده قرارمي گيرند، ميتوانند به يكي از دو ماهيت ورودي يا خروجي باشند. در نتيجه انديس بهره وري Malmquist شعاعي زماني كه خروجي ها ثابت باشند مي تواند در ماهيت ورودي، يا وقتي كه ورودي ها ثابت باشند در ماهيت خروجي باشد .توجه كنيد كه كارايي DEA با شاخص كارايي شعاعي و Slack هاي غير صفر ورودي (خروجي) تعيين مي شود. با توجه به اينكه انديس بهره وري Malmquist شعاعي فقط بر پايه درجات كارايي شعاعي است Slack هاي ورودي غير صفر در ماهيت ورودي (يا Slack هاي خروجي غير صفر در ماهيت خروجي) را در نظر نمي گيرد. بديهي است كه تغيير بهره وري كاملاً تعيين نمي شود. همچنين وقتي برتري ورودي ها و خروجي ها منحصر بفرد روي بهبود اجرا در نظر گرفته ميشود، انديس بهره وري Malmquist با شكست روبرو مي شود.

2-4- انديس بهره وري Malmquist

فرض كنيم n ، DMU داريم ،‌هر DMU_j (j=1,…,n) بردار خروجي  را با استفاده از بردار ورودي در هر دوره از زمان t=1,…,l توليد مي كند. در اين صورت مدل CCR به صورت زير بيان مي شود.

Iii ) مقايسه نسبت به EPF در زمان 1+t ، يعني محاسبه با استفاده از مسأله برنامه ريزي خطي زير :

    

(2-4)                                           

انديس بهره وري Malmquist به صورت زير تعريف مي شود:

 اندازه تغيير بهره وري بين دوره t و 1+t را نشان مي دهد . اگر 1 <  بهره وري كاهش كرده، اگر 1= بدون تغيير باقي مانده و اگر 1 >  بهره وري افزايش داشته است. توجه كنيد كه  با درجات كارايي شعاعي در ماهيت ورودي بيان شد. بنابراين به  انديس بهره وري Malmquist شعاعي در ماهيت ورودي گفته مي شود. در زير تجزيه  به صورت حاصل ضرب تغيير كارايي تكنيكي در جابجايي EPF از DMU₀ آورده شده.

(3-4)              

اولين كسر از سمت راست مقدار تغيير كارايي تكنيكي بين دوره هاي t و 1+t را اندازه گيري مي كند.

بديهي است كه:

 

مطابق با پيشرفت ،‌باقي ماندن و يا كاهش كارايي تكنيكي DMU₀دومين عبارت جابجايي EPF را بين دو زمان t و 1-t اندازه گيري مي كند.

 

3-4 انديس بهره وري Mal,quist غير شعاعي

 با درجه كارايي شعاعي در ماهيت ورودي بسط داده شد. بنابراين در انديس بهره وري Mal,quist شعاعي slack هاي ورودي مدل هاي DEA ( در ماهيت ورودي ) مطرح نمي شود. همچنين در  برتري اختصاصي ورودي هاي بهبود دهنده اجرا در نظر گرفته نمي شود.

مسأله ي (10-4) نيز يك مسأله ي برنامه ريزي خطي كسري است كه مي توان با تبديلات چارنز – كوپر به يك مسأله برنامه ريزي خطي تبديل نمود. و .

حال براي محاسبه كافي است در مدل ـ9-4) به جاي (t) در همه جا (1+t ) قرار دهيد. به عبارت ديگر DMU_P را با مختصات زمان (1+t ) نسبت به تمام واحدهاي تصميم گيرنده با مختصات (1+t ) مقايسه كنيد. و توجه داشته باشيد كه

.

براي محاسبه كافي است DMU_Pرا با مختصات زمان (1+t ) را با تمام واحدهاي تصميم گيرنده با مختصات (t) مقايسه نمائيد. بنابراين مسأله زير بدست مي آيد.

    

(11-4)                                         

توجه داشته باشيد كه  .

انديس بهره وري Malmquist را مي توان به صورت زير تعريف نمود.

در رابطه فوق نشان دهنده پيشرفت و  نشان دهنده پسرفت DMU_Pخواهد بود. و اگر در اين صورت DMU_Pدراين دو مقطع نه پسرفت داشته و نه پسرفت.

به همين ترتيب مي توان انديس بهره وري Malmquist را براي هر ورودي و هر خروجي نيز تعريف كرد. انديس بهره وري Malmquist نسبت به ورودي I ام به صورت زير تعريف مي شود.

ـ اگر  ، آنگاه DMU_Pنسبت به ورودي i ام پيشرفت داشته است.

ـ اگر ، آنگاه DMU_Pنسبه به ورودي i ام پسرفت داشته است.

ـ اگر  ، آنگاه DMU_P نسبت به ورودي i ام نه پيشرفت داشته و نه پسرفت داشته است.

انديس بهره وري Malmquist نسبت به خروجي r ام از رابطه زير بدست مي آيد.

 

ـ اگر  ، آنگاه DMU_Pنسبت به خروجي r ام پيشرفت داشته است.

ـ اگر  ، آنگاه DMU_Pنسبت به خروجي r ام پسرفت داشته است.

ـ اگر  ، آنگاه DMU_Pنسبت به خروجي r ام پيشرفت داشته و نه پسرفت داشته است.

 

 

---