سيستمها را با جملاتي نظير خطي ،‌غير خطي ، غير متغير با زمان [1] و متغير با زمان مشخص مي نمايند. ما سيستمها را برمبناي معادلات وضعيت آنها دسته بندي خواهيم كرد.براي مثال ، اگر سيتمي غير خطي و متغير با زمان باشد معادلات وضعيت آن بصورت زير خواهند بود :

سيستمهاي غير خطي متغير با زمان توسط معادلات وضعيتي بشكل زير نشان داده مي شودند:

اگر سيستم خطي و متغير با زمان باشدمعادلات وضعيت آن بصورت زير است :

كه در آن  A(t) و B(t) ماتريسهاي  و با عناصر متغير با زمان مي‌باشند. معادلات وضعيت سيستم خطي غير متغير با زمان داراي شكل زير است :

كه در آن A و B ماتريسهاي ثابتي هستند.

 

معادلات خروجي :

كميتهاي فيزيكي كه بتواند اندازه گيري شوند خروجي ناميده شده و بصورت  نشان داده مي‌شوند. اگر خروجيها توابعي غير خطي ، متغير با زمان از وضعيتها و كنترلها باشند، معادلات خروجي را بصورت زير مي نويسيم :

اگر خروجي به وضعيتها و كنترلها با روابط خطي و غير متغير با زمان بستگي داشته باشندآنگاه :

كه در ان C و D ماتريسهاي ثابت  و  مي‌باشند.

 

ملاحظات :

در طرح سيستمهاي كنترل ، هدف نهائي بدست آوردن كنترل كننده اي است كه باعث عملكرد سيستم بطريق مطلوبي مي‌شود. معمولاً پارامترهاي ديگري نظير وزن، حجم ، قيمت و قابليت اعتماد نيز در طرح كنترل كننده تأثير داشته وبين مشخصات مورد لزوم نحوه عملكرد وملاحظات اجرائي بايد كم وزياد نمود. روشهاي طراحي متعارف ، براي سيستم هاي خطي ، يك ورودي ، يك خروجي و با شرايط اوليه صفر بسيار مناسب مي‌باشند. طراح با استفاده از مشابه سازي ، تحليل رياضي يا روشهاي ترسيمي اثرات جاسازي تجهيزات و وسائل فيزيكي مختلف را در سيستم برآورد       مي نمايد.

با روش سعي و خطا، يا يك طرح كنترل كننده قابل قبولي بدست مي آيدو يا طراح نتيجه مي گيرد كه مشخصات مورد لزوم نحوه عملكرد، نمي توانند مصداق پيدا كنند.

مسائل پيچيده فضائي زيادي كه قابل خورند به روشهاي متعارف نيستند با استفاده از تئوري كنترل بهينه حل شده اند. بهرحال مجبوريم قبول كنيم كه تئوري كنترل بهينه حل شده اند، بهرحال مجبوريم قبول كنيم كه تئوري كنترل بهينه در حال حاضر روش كلي قابل كاربردي ، براي طرح ساده كنترل كننده ها دراختيار نمي گذارد. قانون كنترل بهينه ،اگر بتواند بدست آيد، معمولاً براي اجراء به كامپيوتر ديجيتال احتياج داشته وتمام وضعيتها براي تغذيه برگشت‌ ( فيدبك) به كنترل كننده بايد دردسترس باشند. اين محدوديتها ممكن است مانع اجراي قانون كنترل بهينه گردند، ليكن تئوري كنترل بهينه بدلائل زير دراين حالت هم مهم مي‌باشند:

1.   دانستن قانون كنترل بهينه ممكن است ديد مناسبي در طرح كنترل كننده تا حدودي بهينه (Suboptimal controller) كه كنترل كننده قابل اجراي ساده اي را بدست ميدهد در اختيار گذارد.

 

تابعي معيار يا ارزشيابي عملكرد:

پس ازمدل سازي سيستمها وتعيين محدوديتهاي كنترل ووضعيت ، تابعي هاي معيار يا ارزشيابي هاي عملكردي كه در سيستمهاي كنترل مورد استفاده قرار ميگيرند را مورد بحث قرار ميدهيم. هدف دراينجا،‌تأمين عوامل فيزيكي انتخاب تابعي معيار، مي‌باشد.

روشهاي طراحي كلاسيك سيستمهاي كنترل ، براي سيستمهاي خطي غير متغير با زمان با يك ورودي و يك خروجي و شرايط اوليه صفر باموفقيت بكارمي روند.       تابعي هاي معيار متعارف عبارتند از پاسخ سيستم به ورودي يكه و سرعت ، كه توسط زمان صعود ،زمان قرار، درصد جهش ودقت حالت تعادل مشخص مي گردندو پاسخ فركانسي سيستم كه توسط حد فاز و حد دامنه ،ماكزيمم دامنه وپهناي باند مشخص مي‌شوند. روشهاي كلاسيك ، نشان داده اند كه در بسياري از موارد قابل استفاده بوده وقابل اعتمادند، ليكن مي خواهيم به مواردي كه با روشهاي كلاسيك قابل عمل نيستند، بپردازيم.

تابعي هاي معيار براي مسائل كنترل بهينه:

مسئله كنترل بهينه عبارتست از پيدا كردن كنترل  به طوريكه باعث شود سيستم

مسير  كه باعث حداقل شدن تابعي معيار زير مي‌شود راتعقيب كند.

حال سعي مي كنيم براي بعضي از مسائل كنترلي متعارف بعضي از عوامل فيزيكي انتخاب تابعي معيار را فراهم آرويم .

 

مسئله حداقل زمان :

مسئله : براي انتقال سيستمي از شرايط اوليه دلخواهي به يك مجموعه هدف S(target set) در حداقل زمان،تابعي معياري كه بايد حداقل شودعبارتست از :

كه t_f اولين لحظه ايست كه x(t) بامجموعه هدف S برخورد مي‌كند. مثالهاي حمله موشك به هواپيما، سيستم تفنگ (ضدهوائي) و نيز سيستم چرخيدن رادار مي‌باشد.

 

مسائل كنترل وضعيت نهائي :

مسئله: حداقل كردن انحراف وضعيت نهايي سيستم از يك مقدار مطلوب آن  r(t_f) يك تابعي معيار ممكن ،‌عبارتست از :

چون هردو انحراف مثبت ومنفي مناسب نمي باشند، لذا تابع مجذور انتخاب شده است .البته مي‌توان از تابع قدر مطلق نيز استفاده كرد ليكن تابع مجذور از نظر رياضي براي بررسي مناسب تر مي‌باشد. معادله فوق را با استفاده از روابط ماتريسي مي‌توان بصورت زير نوشت:

اين رابطه را مي‌توان بشكل زير نشان داد :

كه در آن  اندازه (norm) بردار  مي‌باشد.

براي عموميت دادن بيشتر مسئله مي‌توان ماتريس H كه يك ماتريس حقيقي متقارن مثبت شبه موكد و بنام ماتريس ارزش گذاري (weighting matrix) است را به صورت زير دراين تابع بكار برد.

(1)                                               

كه معادله فوق را مي‌توان بصورت زير نيز نوشت:

(2)                                                                  

اگر H ماتريس قطري واحد باشد معادلات (1) و (2) معادل خواهند بود.

اگرH يك ماتريس قطري باشد ، فرض اينكه H بايد ماتريس مثبت شبه موكد باشد، باعث خواهد شد كه تمام عناصر قطراصلي غير منفي باشند. با تنظيم وانتخاب عناصر H مي توان اهميت انحراف هر يك از متغيرهاي وضعيت رااز مقدار مطلوب آن تعيين كرد. براي مثال اگر h_ii را بزرگ انتخاب كنيم انحراف  x_i(t_f) از مقدار مطلوب آن با اهميت تلقي شده واگر h_jj را صفر در نظر بگيريم ،انحراف x_j را بي اهميت تلقي كرده ايم .

عناصر H براي نرماليزه كردن مقادير عددي نيز بكار گرفته و تنظيم مي شوند.

 

مسائل كنترل حداقل تلاش :

مسئله : انتقال سيستمي از يك وضعيت اوليه x(t₀)=x₀ به مجموعه هدف S با مصرف حداقل نيروي كنترل .

معني جمله « كنترل حداقل تلاش » (minimum control effort) بستگي به كاربرد خاص فيزيكي آن داشته و لذا تابعي معيار شكلهاي مختلفي مي‌پذيرد. براي مثال يك قمر مصنوعي در يك سفر بين كرات را در نظر بگيريد، فرض كنيد u(t) تراست موتور راكت بوده و فرض كنيد دامنه تراست متناسب با نرخ مصرف سوخت باشد، براي حداقل كردن كل مصرف سوخت ،تابعي معيار

انتخاب مي‌شود. اگر چندين سيگنال كنترل وجود داشته و نرخ مصرف نيروي كنترل I ـ ام بصورت  باشد( كه در آن c_t ثابت تناسب است) در نتيجه حداقل كردن تابع معيار زير

باعث حداقل شدن نيروي كنترل خواهد شد.  ها ضرائب غير منفي،‌ارزش گذاري مي باشند.

 

مسائل تعقيب :

مسئله: نزديك كردن وضعيت  x(t) سيستم به وضعيت مطلوب  r(t) در حد ممكن (tracking problem) در محدوده [t₀,t_f].

بعنوان تابعي معيار.‌تابع زير انتخاب مي‌شود.

كه در آن Q(t) ماتريسي است حقيقي متقارن  مثبت شبه موكد به ازاء هر  . عناصر مختلف Q آنچنان تعيين مي‌شوند كه به وضعيتهاي مختلف ،‌اهميت وارزش مورد نظر داده شود. همچني عناصراين ماتريس براي نرماليزه كردن عددي مقادير انحراف بكار مي روند. براي مثال اگر Q ماتريس قطري ثابت با Q_ii=0 باشد بدين معني خواهد بود كه به  x_I اهميت داده نشده است .

مسائل تنظيم كننده ها :

مسئله تنظيم ، حالت خاص مسئله تعقيب است كه در آن به ازاء هر  مقدار r(t)=0 مي‌باشد.

 

انتخاب تابعي معيار يا ارزشيابي عملكرد:

در انتخاب تابعي معيار، طراح سعي مي نمايد كه يك تابع رياضي چنان تعريف كند كه وقتي آن تابع حداقل مي شود نشان دهد كه سيستم در مطلوب ترين وضعيت خود عمل مي نمايد. بنابراين انتخاب تابعي معيار عبات است ازترجمه مشخصات فيزيكي مورد لزوم سيستم درغالب عبارات رياضي .

 

برنامه ريزي پويا :

پس از انتخاب تابعي معيار براي يك سيستم ،وظيفه بعدي تعيين تابع كنترلي است كه اين تابعي معيار را حداقل نمايد.دو روش براي بدست آوردن حداقل اينگونه توابع بكار گرفته ميشود، يكي اصل حداقل يابي پونترياگن                                         (the minimum principle of Pontryagin) وديگري برنامه ريزي پوياي بلمن (Bellman’s dynamic programming) مي‌باشد. روش تغييراتي پونترياگن منجر به مسئله غير خطي با شرايط جدي در دو نقطه مجزاي ابتداء وانتها مي گردد كه با حل آن كنترل بهينه حاصل خواهد شد.

 

قانون كنترل بهينه :

كنترل بهينه اي بشكل

را تعريف كرديم، كه كنترل بهينه مدار بسته و يا فيدبك بود. رابطه تابعي f بنام قانون كنترل بهينه يا سياست بهينه ناميده شد. توجه شود كه قانون كنترل بهينه چگونگي تهيه مقدار كنترل را در زمان t از مقدار وضعيت در همان زمان مشخصمي كند. ظهور t در آرگومان f نشان دهنده اين است كه قانون كنترل بهينه ممكن است متغير با زمان باشد. در روش برنامه ريزي پويا، يك سياست بهينه يابي با بكارگيري اصل بهينگي بدست مي‌آيد.

 

 

---